Login
English      Slovensko
print

Temeljni projekt J1-1695
Razdaljno-regularni grafi: nerazcepni T-moduli s krajiščem 1 in delovanje grupe automorfizmov

 

Naslov projekta:  Razdaljno-regularni grafi: nerazcepni T-moduli s krajiščem 1 in delovanje grupe automorfizmov

Vodja projekta: Štefko Miklavič

Šifra projekta: J1-1695.

Tip projekta: temeljni projekt.

Financer: Javna agencija RS za raziskovalno dejavnost (ARRS).

Raziskovalno področje (ARRS): 1.01.05 - Naravoslovno-matematične vede / Matematika / Teorija grafov.

Trajanje projekta: 1. 7. 2019 - 30. 6. 2022.

Cenovna kategorija projekta: B.

Letni obseg projekta: 0.83 FTE (1414 raziskovalnih ur).

Sicris profil projekta je dostopen tukaj.

Raziskovalne organizacije v okviru katere se izvaja projekt:
Univerza na Primorskem, Inštitut Andrej Marušič
Univerza v Ljubljani, Pedagoška fakulteta.

Člani raziskovalnega projekta:
Miklavič Štefko (vodja) (ARRS šifra: 21656)
Marušič Dragan (ARRS šifra: 2887)
Kutnar Klavdija (ARRS šifra: 24997)
Hujdurović Ademir (ARRS šifra: 32518)
Kovacs Istvan (ARRS šifra: 25997)
Dobson Edward Tauscher (ARRS šifra: 34109)
Penjić Safet (ARRS šifra: 37553)
Filipovski Slobodan (ARRS šifra: 37715)
Velkavrh Žiga (ARRS šifra: 50720)
Ramos Rivera Alejandra (ARRS šifra: 37541)
Romaniello Federico (ARRS šifra: 51979)

 

Povzetek projekta:

V našem raziskovanju se ukvarjamo s kombinatoričnimi objekti, znanimi kot grafi. Graf sestavljata končna množica vozlišč, skupaj z množico povezav. Vsaka povezava povezuje dve različni vozlišči. Za vozlišči x, y rečemo, da sta sosednji, če sta povezani s povezavo. Koncept grafa je zelo uporaben, saj se mnoge tako matematične kot tudi druge relacije dajo modelirati s pomočjo grafov. V predlaganem projektu bomo raziskovali tako imenovane razdaljno-regularne grafe. Ogrodja petih platonskih teles so primeri takšnih grafov. Izkaže se, da je teorija razdaljno-regularnih grafov povezana tudi z mnogimi drugimi področji matematike, kot so na primer teorija kodiranja, teorija reprezentacij in teorija ortogonalnih polinomov.

Da bi opisali glavne cilje našega projekta se najprej spomnimo definicije razdaljno-regularnega grafa. Naj bo Γ = (X, R) graf z množico vozlišč X, množico povezav R, razdaljno funkcijo d in premerom D. Rečemo, da je Γ razdaljno-regularen, če za vsa cela števila h, i, j (0 ≤ h, i, j ≤ D) in vsa vozlišča x, y grafa Γ z d(x, y) = h velja, da je število vozlišč, ki so na razdalji i od vozlišča x in na razdalji j od vozlišča y, odvisno samo od števil i, j, h (in neodvisno od izbire vozlišč x, y).

Naš projekt je sestavljen iz dveh glavnih delov: študija Terwilliger-jevih algeber razdaljno-regularnih grafov (preko nerazcepnih modulov), ter študija delovanj grup avtomorfizmov razdaljno-regularnih grafov. Da bi opisali glavni cilj prvega dela našega projekta, se najprej spomnimo definicije Terwilligerjeve algebre razdaljno-regularnega grafa Γ. Naj bo Γ razdaljno-regularen graf premera D. Izberimo si vozlišče x grafa Γ. Za 0 ≤ i ≤ D definirajmo diagonalne matrike E_i^*=E_i^*(x), ki imajo vrstice in stolpce indeksirane z vozlišči grafa Γ. Za vozlišče y grafa Γ naj bo (y,y)-koordinata matrike E_i^* enaka 1, če je d(x,y)=i, in enaka 0 sicer. Matrike E_i^* imenujemo dualni idempotenti grafa Γ (glede na x). Terwilligerjeva algebra T=T(x) grafa Γ je matrična algebra, generirana z matriko sosednosti grafa Γ in z dualnimi idempotenti grafa Γ. V prvem delu našega projekta bo naš glavni cilj rešiti naslednji problem.

Problem Naj bo Γ razdaljno-regularen graf. Izberimo si vozlišče x grafa Γ in naj bo T=T(x) pripadajoča Terwilligerva algebra. Privzemimo, da ima Γ do izomorfizma natančno tri nerazcepne T-module s krajiščem 1, od katerih so vsi tanki. Poišči kombinatorične posledice tega algebraičnega pogoja.

Da bi opisali naš glavni cilj v drugem delu projekta, se najprej spomnimo definicije Cayleyevega grafa. Naj bo H končna grupa in naj bo S podmnožica grupe H, ki je zaprta za inverze, ne vsebuje identitete grupe H, in generira grupo H. Cayley-ev graf grupe H glede na množico S, ki ga označimo s Cay(H; S), je graf z množico vozlišč H, kjer je element x grupe H povezan z elementom y grupe H natanko takrat, ko je produkt elementa x z inverzom elementa y vsebovan v množici S. V drugem delu projekta bo naš glavni cilj rešiti naslednji problem.

Problem za nekatere razrede grup H klasificiraj vse razdaljno-regularne grafe, ki so Cayleyevi grafi za grupo iz razreda H. Razreda grup, ki nas bosta v zvezi s tem problemom še posebej zanimala, sta razred grup, ki so direktni produkt dveh cikličnih grup(vsaj za nekatere posebne rede teh dveh cikličnih grup), ter razred posplošenih diedrskih grup.

Tekom projekta bomo skušali rešiti še vrsto drugih problemov, ki so povezani z zgoraj navedenima glavnima problemoma.