Login
English      Slovensko
print

Temeljni projekt J1-1691
Weissova domneva in posplošitve

 

Naslov projekta:  Weissova domneva in posplošitve

Vodja projekta: Primož Potočnik.

Šifra projekta: J1-1691.

Tip projekta: temeljni projekt.

Financer: Javna agencija RS za raziskovalno dejavnost (ARRS).

Raziskovalno področje (ARRS): 1.01.05 - Naravoslovno-matematične vede / Matematika / Teorija grafov.

Trajanje projekta: 1. 7. 2019 - 30. 6. 2022.

Cenovna kategorija projekta: C.

Letni obseg projekta: 1,45 FTE (2469 raziskovalnih ur).

Sicris profil projekta je dostopen tukaj.

Raziskovalne organizacije v okviru katere se izvaja projekt:
Univerza v Ljubljani, Fakulteta za matematiko in fiziko
Inštitut za matematiko, fiziko in mehaniko
Univerza na Primorskem, Inštitut Andrej Marušič.

Člani raziskovalnega projekta:
Hujdurović Ademir (ARRS šifra: 32518)
Pisanski Tomaž (ARRS šifra: 1941)
Kovič Jurij (ARRS šifra: 11234)
Bašić Nino (ARRS šifra: 34561)

 

Povzetek projekta:

Tema predlaganega projekta se umešča v presečišče dveh področij: teorije grup in kombinatorike (še posebej teorije grafov). Obravnava temeljno matematično vprašanje: Kako simetričen je lahko določen matematičen objekt? Koliko simetrij lahko ima? To je precej nejasno formulirano vprašanje in zahteva bolj določen kontekst, če iščemo določnejše odgovore. Vprašanje je bilo deležno precej pozornosti v kontekstu diskretnih struktur  ̶  še posebej grafov, kjer je pionirsko in prelomno delo Tutteja o kubičnih ločno-tranzitivnih grafih spodbudilo nadaljnje raziskave, ki so kulminirale v globoki in že dolgo nerazrešeni, še vedno odprti domnevi Richarda Weissa o redu grupe avtomorfizmov končnega povezanega lokalno primitivnega ločno-tranzitivnega grafa. W eissovo domnevo, ki je bila postavljena leta 1987, in ki predstavlja enega izmed najbolj znanih odprtih problemov v algebraični teoriji grafov, lahko formuliramo takole: 

Za vsako pozitivno celo število d obstaja konstanta c z naslednjo lastnostjo: Če je X povezan končen graf, v katerem ima vsako vozlišče valenco d, in je G grupa avtomorfizmov grafa X, delujoča tranzitivno na urejenih parih sosednih vozlišč grafa X, in je permutacijska grupa, inducirana z delovanjem stabilizatorja H vozlišča v na njegovi okolici (tj. množici njegovih sosedov) primitivna, potem je red H največ c.

Številni globoki in dolgi članki so bili objavljeni odtlej, vsak od njih je dokzal nek poseben primer domneve, vendar se zdi, da bodo za njen dokaz potrebne sveže ideje.

Cilj predlaganega projekta je raziskati številne nove možne pristope v smeri dokaza Weissove domneve. Prvi pristop je najbližji klasičnim metodam, vendar nameravamo v njem uporabiti nedavno dokazane in globoke rezultate s področja lokalne analize in končnih grup. Drugi pristop je popolnoma nov, osnovan je na pozitivni rešitvi omejenega Burnsideovega problema, ki nam omogoča prevesti Weissovo domnevo na dva ločena problema, o eksponentu in rangu vozliščnega stabilizatorja, kadar je lokalno delovanje primitivno. Tretji pristop, ki ga želimo raziskati, je posplošitev (Weissove domneve) na splošnejše vprašanje o (hitrosti) rasti vozliščnega stabilizatorja glede na red grafa (v primerjavi z redom grafa).

Čeprav se dobro zavedamo, da je dokazati 30 let staro domnevo ambiciozen cilj, ki ga morda ne bomo dosegli v času izvajanja predlaganega raziskovalnega projekta, verjamemo, da nam bodo orodja, ki so nam nedavno postala dostopna, pa tudi odlična raziskovalna skupina, omogočili najmanj to, da dosežemo velik napredek v smeri končne razrešitve domneve, obenem pa izboljšamo naše razumevanje simetrij pri grafih.